三角形の面積

直線

直線がある。この直線のある点から円状のある位置に線を伸ばせば三角形が出来る。こうしてみると、一次元から二次元に変わる時に最も簡単な操作で出来るのが三角形と言って良さそうだ。

直角三角形

直線に対して、長さと角度を変えた点があれば色々な三角形を作る事が出来る。さて、この時の角度を90度に固定すれば長さを変えるだけで色んな三角形が作れる。なぜ90度に固定するかと言えば、ピタゴラスの定義で馴染み深いからだけである。




片側だけの三角形の反対側にも点を設ければこれも三角形になる。もし二点が一直線上になければ（角度が180度でなければ）四角形になる。
triangle

垂線

三角形は頂点から辺に向かって垂線を引く事ができる。垂線は辺と交差しなくても引く事ができる。
always



しかしひとつの頂点は必ず辺と垂線で交差する。

面積

つまり、三角形は必ず直角三角形に分割できる。直角三角形ならばピタゴラスで面積が求まる。

角Aに対する辺BCに対して垂線をおろせば、ふたつの直角三角形が作れる。この三角形 ADB と ADC のそれぞれの辺の長さは次の計算で求まる。

\({BD} = \sqrt{{AD}^2 + {AB^2}} \)
\({CD} = \sqrt{{AD}^2 + {AC^2}} \)

分かっている事
辺 AB, AC, BC の長さ。
頂点 A, B, C の角度。

計算で求まる値
角 BAD は 90 - 角B。
角 CAD は 90 - 角C。

辺 AD の長さ。
\(辺BD = {辺AB} \times \sin({角BAD})\)
辺 CD の長さ。
\(辺CD = {辺AC} \times \sin({角CAD})\)

三角形 ABD の面積は AD * DB / 2
三角形 ACD の面積は AD * DC / 2

三角形 ABC の面積は ABD + ACD