角度で三等分する
ケーキをカットする方法
- 中心(B)からひとつの方向(A)へ切る。
- その反対側の位置(C)にめぼしを付ける。
- (C)の位置から同じ半径の円を描く。
- 交点で切る。
- または、(BC)の半分の位置(D)から垂直に線を引いた交点で切る。
半径を(R)とする面積 \( \pi \times R^2 \)
角度を三等分する角度 \(360 / 3 = 120 \)
角度を三等分する角度 \(360 / 3 = 120 \)
半径で三等分する
円の面積の\(\frac{1}{3}\)となる半径を求める。ケーキをカットする方法（ほぼ誤差なし）
- 中心から半径の半分より若干外側(1.1倍くらい)の所(R1)で円形に切る。
- 残り部分は半分の所(R2)で円形に切る。
半径を(R)とすると面積 \( A = \pi \times R^2\)
\(\frac{1}{3}\)の面積となる半径(r) \( \frac{1}{3} A = \pi \times r^2\)
\(\frac{1}{3}\)の半径 \( r^2=\frac{1}{3}A \div \pi ⇒ r=\sqrt{\frac{1}{3} \frac{A}{\pi}}\)
\(\frac{2}{3}\)の半径 \( r^2=\frac{2}{3}A \div \pi ⇒ r=\sqrt{\frac{2}{3} \frac{A}{\pi}}\)
\(\frac{1}{3}\)の面積となる半径(r) \( \frac{1}{3} A = \pi \times r^2\)
\(\frac{1}{3}\)の半径 \( r^2=\frac{1}{3}A \div \pi ⇒ r=\sqrt{\frac{1}{3} \frac{A}{\pi}}\)
\(\frac{2}{3}\)の半径 \( r^2=\frac{2}{3}A \div \pi ⇒ r=\sqrt{\frac{2}{3} \frac{A}{\pi}}\)
\(\frac{A}{\pi}=1\)とした時
\(\frac{1}{3}\)の半径R1は \(\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(\frac{2}{3}\)の半径R2は \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(\frac{3}{3}\)の半径R=R3は \(\sqrt{\frac{3}{3}}=1\)。
R1:R2:R3 の比は
\(\sqrt{\frac{1}{3}}:\sqrt{\frac{2}{3}}:\sqrt{\frac{3}{3}} \fallingdotseq 0.5774 : 0.8165 : 1\)。
\(\sqrt{\frac{1}{3}}\fallingdotseq0.57735026919...\)は半分(\(\frac{1}{2}=0.5\))よりも若干大きい。
\(0.5 \times 1.1 = 0.55, 1.5 \times 1.2 = 0.6\)だから1.1と1.2の間のどこか。
\(0.57735026919 \div 0.5 \fallingdotseq 1.15470053838...\)
辺の長さの比
R1:R2の比は1.4142で \(\sqrt{2}\)
R1:R3の比は1.7321で \(\sqrt{3}\)
R2:R3の比は1.2247で \(\sqrt{1.5}\)
R1:R2は \(\frac{R2}{R1} = \sqrt{2} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \)
R1:R3は \(\frac{R3}{R1} = \sqrt{3} = \sqrt{\frac{9}{3}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{3}} \)
R1:R2:R3 の比は
\(\sqrt{3}:\sqrt{6}:\sqrt{9} \fallingdotseq 1.7321 : 2.4495 : 3\)としてもよい。
\(\sqrt{3}\fallingdotseq1.73205080757...\)は半分(\(\frac{3}{2}=1.5\))よりも若干大きい。
\(1.5 \times 1.1 = 1.65, 1.5 \times 1.2 = 1.8\)だから1.1と1.2の間のどこか。
\(1.73205080757 \div 1.5 \fallingdotseq 1.15470053838...\)
\(\frac{1}{3}\)の半径R1は \(\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(\frac{2}{3}\)の半径R2は \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(\frac{3}{3}\)の半径R=R3は \(\sqrt{\frac{3}{3}}=1\)。
R1:R2:R3 の比は
\(\sqrt{\frac{1}{3}}:\sqrt{\frac{2}{3}}:\sqrt{\frac{3}{3}} \fallingdotseq 0.5774 : 0.8165 : 1\)。
\(\sqrt{\frac{1}{3}}\fallingdotseq0.57735026919...\)は半分(\(\frac{1}{2}=0.5\))よりも若干大きい。
\(0.5 \times 1.1 = 0.55, 1.5 \times 1.2 = 0.6\)だから1.1と1.2の間のどこか。
\(0.57735026919 \div 0.5 \fallingdotseq 1.15470053838...\)
辺の長さの比
R1:R2の比は1.4142で \(\sqrt{2}\)
R1:R3の比は1.7321で \(\sqrt{3}\)
R2:R3の比は1.2247で \(\sqrt{1.5}\)
R1:R2は \(\frac{R2}{R1} = \sqrt{2} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \)
R1:R3は \(\frac{R3}{R1} = \sqrt{3} = \sqrt{\frac{9}{3}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{3}} \)
R1:R2:R3 の比は
\(\sqrt{3}:\sqrt{6}:\sqrt{9} \fallingdotseq 1.7321 : 2.4495 : 3\)としてもよい。
\(\sqrt{3}\fallingdotseq1.73205080757...\)は半分(\(\frac{3}{2}=1.5\))よりも若干大きい。
\(1.5 \times 1.1 = 1.65, 1.5 \times 1.2 = 1.8\)だから1.1と1.2の間のどこか。
\(1.73205080757 \div 1.5 \fallingdotseq 1.15470053838...\)
縦に三等分する
円の方程式を積分に突っ込んで求める方法もあるらしいが、ここでは扇形の面積から三角形の部分を引いた面積が\(\frac{1}{3}\)となる高さ(H)を求める。きちんと割り切れない可能性が高いので有効 n 桁を決め、その精度の範囲内で求める。ケーキをカットする方法（誤差あり）
- 半径の1/4～1/3の所で切る。
- 反対側も同じ所で切る。
分かっているもの
半径 R と高さ H の三角形二つ分だから \( R \times H \div 2 \times 2 = R \times H \)
三角形の辺の長さ(B)
ピタゴラス \(R^2 = H^2 + B^2 \) から残りの辺(B)の長さは \( B = \sqrt{R^2-H^2} \)
扇形の面積(A2)
辺 R と B の関係から \( \cos(\theta) = \frac{R}{B} \)
扇形の角度(\(\theta\))
扇形の角度(\(\theta\))は \(\theta = \arccos(\cos(\theta)) = \arccos(\frac{R}{B}) \)
よって円の面積Aを \(\frac{\theta}{360}\)倍すればよい。
- 三角形の斜辺 = 円の半径 = R
- 三角形の高さ = H
半径 R と高さ H の三角形二つ分だから \( R \times H \div 2 \times 2 = R \times H \)
三角形の辺の長さ(B)
ピタゴラス \(R^2 = H^2 + B^2 \) から残りの辺(B)の長さは \( B = \sqrt{R^2-H^2} \)
扇形の面積(A2)
辺 R と B の関係から \( \cos(\theta) = \frac{R}{B} \)
扇形の角度(\(\theta\))
扇形の角度(\(\theta\))は \(\theta = \arccos(\cos(\theta)) = \arccos(\frac{R}{B}) \)
よって円の面積Aを \(\frac{\theta}{360}\)倍すればよい。
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