線を引いて掛け算

線を引いて掛け算する方法。

1. 数Aの各桁を横線で引く
2. 数Bの各桁を縦線で引く
3. それぞれの交点を数える

100: 10: 1: =

100: 10: 1: =

実線の交点の個数をカウントする（破線は０なので交差しても０）。

各桁毎に斜めを合計する。

	10000	1000	100
0	0	0	10
0	0	0	1
0	0	0

この方法は交点の個数をカウントするだけで、一桁の掛け算を暗唱する必要がない。一切の掛け算をせずカウントと足し算だけで答えを求められる。

なぜ交点は各桁の掛け算になるのか

縦と横に各桁の値を書き込み、交差するマスに一桁の掛け算の値を書き込む。各マスは、それぞれの位置で桁数を決定する。

_

交差する個数は、縦横の四角形の面積と式としては等しい。これは幾何学的な掛け算になる。

なぜ同じ桁が斜めに並ぶのか

この時に、どの場所が、どの桁数かを決定する。同じ桁の答えが斜めに並ぶ。縦と横のそれぞれに与えた桁数の掛け算になっていて、同じ掛け算が斜めに出現している。

_	100	10	1
100	100*100=10000	100*10=1000	100*1=100
10	10*100=1000	10*10=100	10*1=10
1	1*100=100	1*10=10	1*1=1

筆算

筆算が記載する位置によって桁数を保持している、それぞれの交点のエリアが桁数を保持しているのと位置によって保持している点が等しい。

解釈

線を引いて行う掛け算では、一切の掛け算が必要ない。筆算と異なり、交点の場所が明らかなので、桁位置を考える必要もない。

これは次の方程式に等しい。
\(\scriptsize (100*a + 10*b + 1*c) * (100*d + 10*e + 1*f)\)

この式を展開すると、以下の足し算になる。これは\(\scriptsize 10^4w + 10^3x + 10^2y + z\) の式でもある。
\(\scriptsize (100a * 100d) + (100a * 10e) + (100a + f) + (10b * 100d) + (10b * 10e) + (10b + f) + (c * 100d) + (c * 10e) + (c * f)\)
= \(\scriptsize (10000ad) + (1000ae) + (100af) + (1000bd) + (100be) + (10bf) + (100cd) + (10ce) + (cf)\)
= \(\scriptsize (10000ad) + (1000ae) + (1000bd) + (100af) + (100be) + (100cd) + (10bf) + (10ce) + (cf)\)
= \(\scriptsize 10000ad + 1000(ae + bd) + 100(af + be + cd) + 10(bf + ce) + cf\)

線を引いて掛け算は、この式を行列として筆算にしたものに見える。
\(\scriptsize \begin{pmatrix} ad & ae & af \\ bd & be & bf \\ cd & ce & cf \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 10^4 & 10^3 & 10^2 \\ 10^3 & 10^2 & 10^1 \\ 10^2 & 10^1 & 10^0 \end{pmatrix} \)

この結果の全要素を足し算(SUM)すれば掛け算の答えになる。