ヴィヴィアーニの定理 - 正三角形と垂線

正三角形の中のどの位置をポイントしても、三本の垂線の長さの合計は常に等しい。




三角形(APB)(APC)(BPC)は底辺(AB)(AC)(BC)がみな同じ。
三角形(APB)(APC)(BPC)の面積を全て足したら (ABC)に等しい。

面積の式。
$(ABC) = BC \times \mathbb{A''A} \times \frac{1}{2}$
$\color{green}{(APB) = AB \times \mathbb{C'P} \times \frac{1}{2}}$
$\color{darkorange}{(APC) = AC \times \mathbb{B'P} \times \frac{1}{2}}$
$\color{blue}{(BPC) = BC \times \mathbb{A'P} \times \frac{1}{2}}$

面積の関係は $ABC = \color{green}{APB} + \color{darkorange}{APC} + \color{blue}{BPC}$ なので
$BC \times \mathbb{A''A} \times \frac{1}{2} =$
$(\color{green}{AB \times} \mathbb{C'P} \color{green}{\times \frac{1}{2}}) + (\color{darkorange}{AC \times} \mathbb{B'P} \color{darkorange}{\times \frac{1}{2}}) + (\color{blue}{BC \times} \mathbb{A'P} \color{blue}{\times \frac{1}{2}})=$
$((\color{green}{AB \times} \mathbb{C'P}) + (\color{darkorange}{AC \times} \mathbb{B'P}) + (\color{blue}{BC \times} \mathbb{A'P})) \times \frac{1}{2} =$

辺の長さの関係は $\color{green}{AB} = \color{darkorange}{AC} = \color{blue}{BC}$ なので
$((\color{green}{BC \times} \mathbb{C'P}) + (\color{darkorange}{BC \times} \mathbb{B'P}) + (\color{blue}{BC \times} \mathbb{A'P})) \times \frac{1}{2} =$
$BC \times (\mathbb{C'P + B'P + A'P}) \times \frac{1}{2} =$
$BC \times (\mathbb{A''A}) \times \frac{1}{2}$

よって
$(C'P + B'P + A'P) = A''A$