分数の割り算はなぜひっくり返して掛けるのか - 反数と逆数

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反数

反数は、A に足して 0 になる数の事。

A + ? = 0
A + ? - (A) = 0 - (A)
? = 0 - (A) = -A = (A × -1)

Aの反数は(A × -1)。正数(5)ならその負数(-5)。負数(-10)なら正数(10)。

引き算

引き算とは、反数を足すという意味。

引き算 A - B は、歴史的には引くという行為が最初に着想されたとしても、いちいち反数を書くより簡単という点で、結局は（反数）の記述を簡単に記載する糖衣構文として理解できる。

A - B = A + (B × -1)

引き算で書けば、× -1 を省略できる。もちろん、引き算として書けば、その式の意図を伝えやすい。

分数

分数はひとつの数とも言えるし、割り算のままとも言える。

A/B = A ÷ B = A * 1/B

分数は、どうやっても数値の中から割り算を取り除けない。1/4 は 0.25 とも書けるけど、全ての分数が小数点で書けるわけではない。例えば 1/3 は 0.333... のように割り切れない数もある。だから分数のまま扱う方が網羅的と言える。

例えば 2 という数字は 3-1 でも 4*0.5 でも 6÷3 とでも書ける。どう書いても 2 という数字になるが、その中では 2 と書くのが一番簡単そうに見える。しかし、数とは、数値だけではなく、足し算、引き算、掛け算、割り算など式の形をしていても構わない事を分数は示している。

逆数

逆数は、掛けて 1 になる数。

A × ? = 1
A × ? × (1/A) = 1 × (1/A)
? = (1/A)

A は A/1 という形でも表記できる。

(A/1) × ? = 1
(A/1) × ? × (1/A) = 1 × (1/A)
? = (1/A)

A/B という分数にも逆数がある。

(A/B) × ? = 1
(A/B) × ? × (B/A) = 1 × (B/A)
? = (B/A) = B * 1/A

※ A/B = A * 1/B、その逆数は B/A = B * 1/A、それぞれが逆数になっている。

Aの逆数は、分数(1/A)や乗数(A^-1)で表記できる。

割り算

割り算とは、逆数を掛けるという意味。

割り算 A ÷ B は、歴史的には割るという行為が最初に着想されたとしても、いちいち逆数を書くより簡単という点で、結局は（逆数）の記述を簡単に記載する糖衣構文として理解できる。

A ÷ B = A × (1 ÷ B) = A × (1/B)

割り算で書けば、1 ÷ を常に省略できる。もちろん、割り算として書けば、その式の意図を伝えやすい。

ただし、分数で割る場合は、このメリットが受けられない。

A ÷ (B/C) = A × (1 ÷ (B/C)) = A × (C/B)

だから、分数の割り算が登場すると急に不思議になってしまうわけである。

割り算の例題

9を3つに割って2倍する、これは6を求める計算。

9 ÷ 3 × 2 = 9 ÷ (3/2) = (9/3) × 2 = 9 × (2/3) = 6

色々な式の書き方がある。