Σのおさらい

∑とは

総和 - Wikipedia
総和の計算 - 数学メモ

数式で +-*/、√、sin, cos の次に出現頻度が多いのは ∑ であろうか。よって ∑ を理解すれば、数式を読むのが楽になる。

∑の呼び名

∑は SUM （和） S のギリシャ文字。そこで ∑ が数式中に出現したときには∑シグマとではなく ∑ 合計 /サム /数列の和と読むだけでも頭に入りやすくなる。

SUM は必要な数を全部足すだけだから要素を全て列挙すれば求められる。やることは足し算だから簡単だけれど、数が莫大になるともっと簡単に答えが欲しくなる。そこでドラえもんのひみつ道具。はい、数学の公式。

∑の主な公式

これらの公式を使えば、理屈不要、理解無用、なのに答えが出る。

//展開式。
∑ i^1 = ( n * (n+1) ) / 2;
∑ i^2 = ( n * (n+1) * (2*n+1) ) / 6;
∑ i^3 = ( n * (n+1) / 2 ) ^ 2;
∑ i^4 = ( n * (n+1) * (2*n+1) * (2*n^2 + 3*n -1) ) / 30;
∑ i^5 = ( n^2 * (n+1)^2 * (2*n^2 + 2*n - 1) ) / 12;
∑ c^i = ( x^(n+1) -1) / ( x^n -1);
∑ (2i-1) = n^2;
//cは定数。
∑ c = c * n;
//足し算、掛け算。
∑ (i + j) = ∑i + ∑j;
∑ (c * i) = c * ∑i;

∑のパラメータ

最初の値と値の増え方と値の個数から答えを求める。全てを足し算するより便利だし早いし楽市楽座。

(画像は wikipedia より)

1. 開始する値 - i
2. 個数 - n
3. 値の増え方の式 - k

1,2,3,4...100 の総和を求めてみよう (0は何回足しても0）

全部を足し算で求める方法。

//∑(i=1, n=100)。
var i = 1;
var n = 100;
var sum = 0;
for( ; i<=n; ++i ) {
 //f は任意の値の増え方。
 sum += f (i);
}

公式から求める方法。

//

ガウスの方法。

//

図(幾何)にすれば、長方形部分の面積の足し算と同じ。

総和と積分

面積と言えば ∫ 積分である。

∑で面積が求まらないのはグラフの通り、積分から総和を求めるにはグラフのはみ出した部分を足す。上記の場合ははみ出した三角形の面積を足す。

//

はみ出た部分が 0 になるほど x の増分を小さくすれば積分になる。これは数列を離散値から連続値にするのと同じである。基本的な発想は離散値を極小化すれば連続値として扱えるである(たぶん)。詳細は数学なので知らない。

和と積分との関係 [物理のかぎしっぽ]

//

総和と階乗

足すがあれば、掛けるがあるのが当然の帰結である。それが階乗であり 6! のように記述する。総乗は大文字のパイ (∏) 記号で表現する

//

• 総和 ∑
• 直積 ∏

∏は Product（積） P のギリシャ文字。そこで ∏ が数式中に出現したときはΠパイとは読まずに ∑ 総乗 /数列の積 /直積と読むだけでも理解しやすくなる。

簡易計算器

∑ i= , n= , x^
1
2
3
4
5
,

∏ i= , n= ,