割り算も数えて計算するよ（ピザ編）

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個数を数える

足し算\((6+2)\)は(６)に(２)を足す。これは(６)つを数えた後に(２)つを数える事と同じ。


引き算\((6-2)\)は(６)から(２)を引く。これは(６)つを数えた後に(２)つ戻す（６⇒５⇒４）のと同じ。


掛け算\((6\times2)\)は(６)を(２)倍する。これは(６)つのものを(２)回ずつ数えるのと同じ。この「数える」の考え方で割り算はどうなるか？


割り算\((6\div2)\)は(６)を(２)で割る。これは(６)つの中に(２)つが何個入っているかを数える。

更に数える

何個あるかを数える。例えば\((6\div\frac{1}{3})\)は６の中に\((\frac{1}{3})\)が何個あるかを数える。

この時の計算方法は、(６)ではなく、まず(１)の中に\((\frac{1}{3})\)が何個あるかを数える。その数を(６)倍にすれば答えが出る。(\(1\div\frac{1}{3}\times{6} = 1\times\frac{3}{1}\times{6} = 3\times6 = 18\))

(１)の中にその数が何個あるかを教えてくれる数を逆数と呼ぶ。(３)の逆数は\((\frac{3}{1}⇒\frac{1}{3})\)。(１)の中に(３)は\((\frac{1}{3})\)つある。\((\frac{1}{3})\)の逆数は\((\frac{1}{3}⇒\frac{3}{1})\)で(３)。(１)の中に\((\frac{1}{3})\)は(３)つある。

逆数どうしを掛けると(１)になる\((\frac{3}{1}\times\frac{1}{3}=1)\)。逆数は掛けて(１)に戻す数とも言える。

よって\((6\div\frac{1}{3})\)は\((\frac{1}{3})\)の逆数(３)を求めて、(６)倍する\((6\times\frac{3}{1}=\frac{18}{1})\)。
\((6\div3)\)なら(３)の逆数\((\frac{1}{3})\)を求めて、(６)を掛ける\((6\times\frac{1}{3}=\frac{6}{3}=2)\)。

ピザを数える

サイズ(６)のピザを(３)で割るとは？

左）(１)枚のサイズ(６)のピザをサイズ(３)で別けた図（個数が２切れ）。
右）(１)枚のサイズ(６)のピザを(３)等分にしている図（サイズが２）。

どちらも\((6\div3)\)の割り算のイメージ。

\(\frac{4}{5}\)のピサ

ピザをピザカッターを使って切るイメージだと\((\frac{1}{3})\)で割り算になると急に立ち止まる事になる。そんな分け方は想像できないから。だけど数えるならこれができる。

\((\frac{4}{5}\div\frac{1}{3})\)は例えば(１)枚の少し欠けている\((\frac{4}{5})\)枚のピザを\((\frac{1}{3})\)枚ずつに分けるイメージ。これも\((\frac{4}{5})\)の中に\((\frac{1}{3})\)が何個あるかを数える。


\((\frac{1}{3})\)で割るとは\((\frac{1}{3})\)が何個あるかを数える事。サイズ(１)の\((\frac{1}{3})\)の大きさで切っていった時に、何個の箱を用意しなければいけないかを求める事になる。

\((\frac{4}{5})\)の計算では、割り切れないから残りができる。

それでも計算はいままでと同じ。逆数を掛ける。(１)枚の中に\((\frac{1}{3}⇒\frac{3}{1})\)は(３)枚ある。\((\frac{4}{5})\)に(３)枚を掛けると\((\frac{4}{5}\times{3}=\frac{4\times3}{5}=\frac{12}{5}=\frac{10}{5}+\frac{2}{5}=2+\frac{2}{5})\)になる。

でもこの\((\frac{2}{5})\)は最初の\((\frac{4}{5})\)枚のピザの\((\frac{2}{5})\)という意味ではないんだなぁ。
それだと(２)枚のピザと\((\frac{2}{5})\)枚のピザという意味になってしまう。

割り切れないピザ

割り算は余りが出るまで引くでも理解できる。
一回目：\((\frac{4}{5}-\frac{1}{3})\) ⇒ \((\frac{12}{15}-\frac{5}{15})\) ⇒ \((\frac{7}{15})\)余ったピザのサイズ。
二回目：\((\frac{7}{15}-\frac{5}{15})\) ⇒ \((\frac{2}{15})\)もう一回ひいて残ったピザのサイズ。

(２)回引いて余りがあるので、箱は(３)つ必要。最後の箱には\((\frac{5}{15})\)のうちの\((\frac{2}{15})\)だけ埋めたピザが収まる。
※ (５)つのうちの(２)つ分だけ埋めている。

この時に使っている箱は(１)枚のピザが入る四角い箱での話。この余りの\((\frac{2}{15})\)は、(１)個のピザに対するサイズになっている。(２)個の箱にも(\(\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\))のピザが入っている。

割り算したピザ

\((\frac{4}{5}\div\frac{1}{3} = \frac{4}{5}\times{3} = \frac{12}{5} = 2+\frac{2}{5})\)

この割り算で出した\((\frac{2}{5})\)は(１)個に対するピザのサイズではなくなっている。

この時のイメージは使っている箱が(１)枚のピザが入る四角い箱ではなくて、\((\frac{1}{3})\)の大きさのピザが入る三角形の箱を使っている。余りの\((\frac{2}{5})\)は、\((\frac{1}{3})\)のピザが入る箱でのサイズになっている。

\((\frac{2}{5})\)は(１)枚のピザに対する大きさの比ではなく、\((\frac{1}{3})\)に対する大きさの比になっている。

\((\frac{1}{3})\)で割ると、(１)の単位が\((\frac{1}{3})\)に変わる。割り算すると箱の形が変わる訳である。または割り算するとは用意する箱の形を変えるというイメージでもいい。

計算と基準となる単位

(１)から\((\frac{1}{3})\)への変換

1	\(\frac{1}{3}=\frac{5}{15}\)
\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{1}{3}\div\frac{1}{3}=1\)
1	\(1\div\frac{1}{3}=3\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{4}{5}\div\frac{1}{3}=\frac{12}{5}=2\frac{2}{5}\)
\(\frac{2}{15}\)	\(\frac{2}{15}\div\frac{1}{3}=\frac{2}{5}\)

割り算は割る数を基準とした大きさの変化と見る事ができる。これは単位が変わった事（単位変換）に等しい。割り算だけがこれをする。

演算	単位
足し算	１の単位は同じ。
引き算	１の単位は同じ。マイナスの数を生み出す。
掛け算	１の単位は同じ。ただし、辺と辺を掛けるのは面積だったりする。
割り算	１の単位は割る数に変わる。基準値が変わるみたいな話。だたし計算が終わった瞬間にまた単位は１に戻るような所がある。ずっと１という単位の中で使いづづける感じが混乱しやすい。

違う箱はどうすればいいの？

\((\frac{1}{3})\)のピザの箱に入れたのに、そこにまた(３)枚のピザを加えたらどうなるだろう？

\((\frac{4}{5}\div\frac{1}{3} = 2+\frac{2}{5})\)に(３)枚のピザを加える。\((2+\frac{2}{5}+3=5+\frac{2}{5})\)となる。なんとなく \((\frac{1}{3})\)の三角の箱とサイズ(１)の四角い箱が混在している感じがする。これだと計算が合わない。

(３)枚のピザが\((\frac{1}{3})\)の箱なら矛盾しない。でも(１)枚のピザを足す事が難しい。何故だろうか？

それは計算結果に単位を付けていないからだ。ピザで考えるなら、これは箱サイズの単位が異なる事になる。SサイズとMサイズをごっちゃに計算しているようなものだ。

つまり、ただの数式の計算の場合は、すべて単位が揃っている事が前提条件としてある。暗黙のうちに単位は揃っている事にしましょう、つまり考えなくて良いことにしましょうという事になっている。この場合は追加した(３)枚の箱は\((\frac{1}{3})\)の箱である。

計算の規則

計算には以下の約束事がある。

約束	例
基準となる数がある	１
足しても値が変わらない数がある	足し算の０
掛けても値が変わらない数がある	掛け算の１
掛けると基準の１に戻る数がある（逆数）	５に\(\frac{1}{5}\)を掛けると１
割ってはいけない数がある	０で割るのは禁止