運動方程式
運動とは、観察した対象が時間経過での空間内で起きた位置の変化、及びそれによって発生する力、温度、エネルギーなどの概念。位置の変化を距離として求める場合、以下の式で表現する。時間などの厳密な定義は行わない。時間とは時計で測定できた数値とする。
等速度直線運動の公式（a=0）
\(\small f(t) = v0t\)
f(t) := t時間後の移動距離 (\(\scriptsize m\)) v0 := 速度 (\(\scriptsize \frac{m}{s}\)) t := 時間 (\(\scriptsize s\))
等加速度直線運動の公式（a!=0）
\(\small f(t) = v0t + \frac{1}{2}at^2 = (v0 + \frac{1}{2}at)t \)
f(t) := t時間後の移動距離 (\(\scriptsize m\)) v0 := 初速度 (\(\scriptsize \frac{m}{s}\)) a := 加速度 (\(\scriptsize \frac{m}{s^2}\)) t := 時間 (\(\scriptsize s\)) at := t時間後の速度 (\(\scriptsize \frac{m}{s}\))
速度を求める
ある時間 time の間に移動する距離 distance は f(t) という関数で定義できる。関数 f(t) のボディ部は\(\small 速度\times時間\)。ラムダ式は f(t) => speed * t。速度は以下の手順で求める。
- 距離dを測定する
- 距離dを何秒で通過するかを測定する
- 距離dに入った時刻がt1、距離dを出ていった時刻がt2
- 距離dを何秒で進んだかを速さspeedとする
- 何秒とは（ \(時刻t2 - 時刻t1\)）
- 5秒で10m進んだなら、10メートル毎5秒
- 毎5秒は使い難いので1秒あたりとして 2m/s
- または時速にして 2m/s * 60*60 = 7200m/h = 7.2km/h
f(t) が 2tなら、この関数は 2m/sでt秒進んだ時の距離を返す関数になる。
速度は変化する
地球上での早さは刻々変化する。だから速度と速度の差を取れば必ずしも0ではない。速度(m/s)もある時間(s)に進んだ距離(m)の事だから、速度と速度の差も前提条件に時間があるとはいえつまりは距離の事である。速度の差を時間で割るとその時間内での速度の増減が求まる。これを加速度 acceleration と呼ぶ。これも所詮は速度の差だから、結局は距離である。基本は距離である。ただ時間の絡み合わせ方が異なっている。
一般的に距離とは何時間経過しても変わる事はない。1km の距離は未来永劫 1km。それを 10分で通過すれば速度になる。
（\(距離2 - 距離1\)）が速度、（\(速度2 - 速度1\)）が加速度。距離から速度が生まれ、速度から加速度が生まれる。
時間で増減値を割ってゆく
時間を掛けると単位が変わってゆく。- \(\small 距離d = 速度s\times時間t\)
- \(\small 速度s = 加速度a\times時間t = 距離d\times \frac{1}{時間t}\)
- \(\small 加速度a = 加加速度a\times時間t = 距離d\times \frac{1}{時間t}\times\frac{1}{時間t}\)
その増減値を時間で更に割れば加加加速度。増減値を求めて時間で割る事は無限に続けられる。その値の意味する所は恐らく微小過ぎて人間にはどうでも良い値になってゆくだろうが、対象の大きさ次第では使い勝手がよい加加加加加加加加加加速度があったりすると思われる。
一次式のdtグラフ
x 軸に時間 y 軸に距離を取ってグラフを書くと、xy の交点は時間と距離の関係を示す。そのグラフの傾きは\(\small d = s \times t\)の式の傾き\(s\)だから\(\small s = \frac{d}{t} \)である。このグラフの傾き\(s\)は速度を意味する。
一次式は常に傾きが同じなので、速度は一定の運動を意味する。もし速度が変わる場合は、真っ直ぐな直線ではなくぐにゃぐにゃに曲がったグラフになる。
ぐにゃぐにゃの曲線で二点間の傾きの差は加速度を意味する。一次式の直線 linear の式では二点(a,b)の傾きはどこで差をとっても傾きa=傾きb で傾きa-傾きb=0。
この傾き（速度）をグラフにすると x軸に平行なまっすぐな横の直線y=sになる。加速度の差をグラフにすればy=0のグラフになる。
以下のグラフで black 線は、時間経過 x時の距離合算を描く。横軸 blue が time、縦軸が distance を示す。各時間当たりの移動距離（速度）は常に一定なので、横に水平なグラフ orange。時間を変えてもその時間帯に進んだ distance は一定である事を意味する（定速運動）。
二次式のdtグラフ
二次式は速度が変化するグラフで、グラフ black 線には、時間経過 x時の距離合算を描く。横軸 time と縦軸 distance を示し、orange は接線で、接線の傾きがその時間での速度になる。blue は比は変えてはいるが加速度のグラフ。時間を変えると distance は増減してゆく。加速度が一定だと直線のグラフ、加速度が増加するなら曲線のvtグラフになる。
少しずつ変化するのなら全ての差分を足せばよい
この世界では瞬間移動はマジックなので、距離を移動するなら時間が掛かる。その過程も連続的に変化すると考える（プランク定数では考えない）。この時の移動距離は速度の変化に応じて漸次変化する。速度は早くなったり遅くなったりできる。それでも瞬間的な速度（\(\frac{距離}{時間}\)）の差はその時間内に変化した速度であり、乃ち距離だから、10km/hから12km/hに速度が変化したのなら 2km/hの速度だけ速くなっていると言える。
1時間で 0km/h から 2km/h に加速したのなら、ずうっと2km/hで進んだ距離である 2km より必ず小さくなると考えられる。速度の変化にともない移動距離も変わるので、全体の移動距離は小刻みに変わる距離の合計で求める事ができ、それは2kmよりは小さくなりそうである。
速度を少しずつ合算すると距離になる
10km/h ～ 12km/h の速度が変化する時には、10km/h から 10.1, 10.2, 10.3, ... 11.0, 11.1, 11.2, 11.3, 11.9, 12.0km/h のように連続的に変化していると考える。区切る時間を短くすればする程、無限にその間の変化を微小な数値で求める事はできる。
速度の増加を 10km/h から 12km/hとすれば、10kmの部分は共通で定速と考えられる。つまり速度は定速部＋加速部という形で考えられる。10-10=0と12-10=2として 0km/h～2km/hの部分が変位した速度（加速部）という事になる。
この増加する柱を 0.1 から2.0まで足してゆくと 0.0+0.1+0.2+0.3+...+1.8+1.9+2.0 = 21 になる。
この合計値 21 は、面積の合計と同じで、距離を意味する。この面積には blue と green で囲まれた部分を含む。変化する速度は中央を突っ切っているので、この21の合計値には余計な値が含まれている。
四角形を\(\frac{1}{2}\)にする。
この四角形を変化は真ん中を横切ってるので、三角形の面積と同じように、半分にすれば正しい合計が求められる気がする。
柱部分と三角形部分で分けて合計を求めると、上の三角形部分は、前後の速度差のうち、加速度の部分に該当する。幾つに分けてもひとつで考えても三角形の部分が生まれる。
この三角形を無限に小さくできる、しかし、三角形が消滅する事はない、という意味にもなる。定速の場合はこの三角形の高さが0と言う特殊形と考えれば何も矛盾はない。
この加速部分が常に三角形を生み出すのは、この区間の前提として加速度は一定だからだ。一定だから均等割りしても等しいと言える訳である。この時間内で本当に加速度は一定か？と言う疑問は、時間をずっとずっと短くしてゆけば、そのうち一定になるだろうという想定で十分と思われる。
\(\frac{1}{2}\)の理由（その１）
\(\frac{1}{2}\)は加速・減速している開始時間と終了時間で作られる四角を半分にする為にある。速度は移動距離の時間による平均だから、変化の前後で最初を 0 最後を 1 とすれば、速度の変化は平均できるし、微小の部分を取り出せば必ず三角の形になるだろうから、この直線的な部分は、開始と最後の差を半分にした 0.5 と思える。0～2km まで速度が上がったのなら、その区間の加速度が一定なら、直感的に半分になると思えるし、移動した距離は (2km-0km) の半分の 1km でいい気がする。
極限は三角形
すると、極限を取るとは、直線で考えるという意味になる。最小の直線が連続して繋がっているイメージになる。どれだけぐねぐねと曲がっている曲線でも顕微鏡でどんどん拡大して見てゆけばいつかは直線（接線）になるという仮定だ。地球も大きすぎるので人間にとっては大地は平面である。
ふたつの点を結べば直線になる。これを大前提としたら、では直線が存在しない空間というものは可能だろうか、どこまで小さくしても曲線しかなく直線が決して出現しない世界が存在すると仮定する。
少なくともこの空間には三角形が存在しない。そこには辺も角も存在しない訳だ。だから円しか存在しない筈である。
ふたつの曲線が交差した時に、そこには点は存在する。だから点は存在しうる。しかし２点は存在するが結んでも直線にならない世界は可能なのだろうか。そこは接線が存在しない世界でもある。
どのような曲線も極小は直線の一次方程式と見做すが、どのような場合でも微小が二次方程式となり一次式が成立しない世界である。このような空間は果たして空想可能なのだろうか。
一次式\(x^1\)と二次式\(x^2\)の間には、無限の次元数がある。例えば\(x^{1.5}=x^\frac{3}{2}\)がある。すると一次元だけが成立しないというのはそこだけ連続性が成立していないという意味になる。それなら一次元でだけ全て0になると考える方がまだ起きやすそうに感じられる。乗数には無理数、虚数も指定できる。
少なくともこの空間には三角形が存在しない。そこには辺も角も存在しない訳だ。だから円しか存在しない筈である。
ふたつの曲線が交差した時に、そこには点は存在する。だから点は存在しうる。しかし２点は存在するが結んでも直線にならない世界は可能なのだろうか。そこは接線が存在しない世界でもある。
どのような曲線も極小は直線の一次方程式と見做すが、どのような場合でも微小が二次方程式となり一次式が成立しない世界である。このような空間は果たして空想可能なのだろうか。
一次式\(x^1\)と二次式\(x^2\)の間には、無限の次元数がある。例えば\(x^{1.5}=x^\frac{3}{2}\)がある。すると一次元だけが成立しないというのはそこだけ連続性が成立していないという意味になる。それなら一次元でだけ全て0になると考える方がまだ起きやすそうに感じられる。乗数には無理数、虚数も指定できる。
速度の変化を極限で見ると、time と speed で三角形を描く。この三角形は時間当たりの速度の変化だから、速度を加算してゆけば距離が求められる。この時、速度の加算とは面積の加算に等しい。
なぜ距離は面積なのか？
速度は各時間当たりの移動距離である。微小な時間毎の速度は、ある瞬間に進んだ距離の事である。だから速度が示す距離を全て合計すればその時間での移動した距離になる。この時、速度には、その瞬間での距離であって、その前までに進んだ距離は含まれていない。だから時間と速度のvtグラフは合計できる。これが時間と距離のグラフだと今の値に前までの値を含むから、二重三重に同じ値を足し込んでしまうから、合計できない。
同様に速度も足してゆく事はできない。それは前までの速度を現在の値の中にも含むからだ。速度の差分を取り出す事で初めて、値の足し算が出来るようになる。
それが加速度になる。だから加速度は速度を求めるのに足し算する事が出来る。そして足す事が出来るとはそのグラフが描く面積という事になる。
\(\frac{1}{2}\)は積分からも（理由その２）
微積分の式。| 式 | \(\small y = ax^n\) |
| 微分 | \(\small y' = n*ax^{n-1}\) |
| 積分 | \(\small \int y = \frac{1}{n+1}*ax^{n+1} + C\) |
時間を積分する。
| 速度v | \(\small v = dt^1\) |
| tで積分 | \(\small \int v = \frac{1}{1+1}*dt^{1+1} + C = \frac{1}{2}dt^{2} + C\) |
もし式の中に\(\small \frac{1}{2}x^2\)が出現したのなら、どこかでxを積分していると見てもよい。（\(速度 = 加速度*時間\)）を時間で積分したので\(\small \frac{1}{2}\)が出現したと解釈できる。
立体の場合の推測
更に\(x^2\)を積分すれば\(\small \frac{1}{3}x^3\)になる。三次元という事はこれは体積のグラフを描くだろう。なぜ３次元では\(\frac{1}{3}\)が出現するのか?これは三角錐の体積の\(\frac{1}{3}\)ではないかと推測できそうだが、どうだろう？rate:
三乗のグラフは立体の体積の変化とする。この時の増え方は、各辺の増加部分の筈である。立方体は６つの面を持ち、それぞれが同じ比率で増加したのなら、この体積の増加分は、辺の増加分の差となって把握できる。
aという辺が1だけ増加した場合を考える。
| 元の体積 | \(\scriptsize a*a*a = a^3\) |
| 面積を1増分する | \(\scriptsize (a+1)*(a+1)*(a+1) (a+1)^3 = a^3+3a^2+3a+1 \) |
| 増減値 | \(\scriptsize a^3+3a^2+3a+1 - a^3 = 3a^2+3a+1\) |
増加した体積を次の３つの部分に分割して把握する。
| 点線の部分の体積 | \(\scriptsize (1)*(a+1)*(a+1) = a^2 + 2a + 1\) |
| 元の図形の右側の増加分 | \(\scriptsize a * (1)*(a+1) = a^2 + a \) |
| 元の図形の上部分の増加分 | \(\scriptsize a*a*(1) = a^2\) |
全部を足す。
| \(\scriptsize (a^2 + 2a + 1) + (a^2 + a) + (a^2) = 3a^2 + 3a + 1 \) |
距離だけを求める
運動の距離を求める式は次のどれでも良い。| \(f1(t) = \frac{1}{2}at^2(加速度\times時間\times時間)\) |
| \(f2(t) = \frac{1}{2}st(速度\times時間)\) |
| \(f3(t) = \frac{1}{2}d(距離)\) |
加速度を微分する。
| 加速度a | \(\small y = v0t + \frac{1}{2}at^2\) |
| tで微分 | \(\small y' = \frac{1}{2}*2*ax^{2-1} = \frac{2}{2}at^1 = at^1\) |
これらの方程式は距離を求める。この式には運動の向きは含まれない。だが距離は二点間の位置からも求める事ができるだろうから、始点と終点からでも運動は表現できると思われる。
この場合、上記の運動方程式をベクトルの式に変換する事になると想像できる。ベクトルは三平方の定理から斜辺を距離とする考え方でもあるから、ここから始められる。
速度 velocity はベクトルであり、速度 speed + 方向 direction の組み合わせと定義されている。この速度を演算するなら、方向も含めて行う必要がある。これは同じ方向と反対方向に向かう場合では相対速度が異なって事からも明らかである。距離の式だけではふたつの運動について考えるには不十分で二点間の式で書き換えてあげる必要がありそうとなる。
\(\frac{1}{2}\)の理由
| 速度を時間で積分するから | 積分 | |
| 三角形が出現するから | 三角形の面積 | \(\frac{1}{2}\times底辺\times高さ\) |
| 始端と終端の二点間の平均を取るから | 平均値の出し方 | \(\frac{a1+a2}{2}\) |
\(\frac{1}{2}\)にするという事はその前に求めた値は、欲しい値の2倍という事を意味する。この二倍にも色々な意味がある。
| 元の面積 | 面積は一倍 | \(a*b\) |
| 横だけに二倍したら | 面積は二倍 | \(2*a*b=2*a*b\) |
| 両辺を\(\sqrt{2}\)倍にしたら | 面積は二倍 | \(\sqrt{2}*a*\sqrt{2}*b\) |
| 各辺を二倍したら | 面積は四倍 | \(2*a*2*b=4*a*b\) |
面積を増分するのにも色々な方法がある。
\(\frac{1}{2}\)が式に存在するという事は、掛け算からは実際の距離が求められないという事を意味する。\(\frac{1}{2}\)をしなかった場合、余分な値が含まれている。なぜその式がまず生まれて、それを補正するように\(\frac{1}{2}\)が出現したのか。
定速の求め方なら四角形でよい。速度が変化するから三角形にする必要が生まれる。そして掛け算では三角形の面積を直接に求める事はできない。掛け算とは四角形の式だから、と言えるだろう。
定速なら四角形、加速するなら三角形。三角形の面積にして合算しても、四角形を合算して半分にしてもどちらでも同じ結果が得られる。
\(\frac{1}{2}\)の存在は、接線の傾きが0ではないという意味になる。これはtangentが返す値が有効化どうかとも意味は同じと思われる。
tan(0)=0の場合は、三角形は形づくられていないが、定速運動である。tan(90)は原理的に起きえない。時間経過が0だから。そこで加速度が0でないとはtangentが値を返すのと同じ意味になる。
変化は三角形の連続で考える。この変化が直線である事が微積分の前提にもなりそうである。微分ではΔの傾きが始点と終点の対角線として直線で結ばれた矩形を考える。この対角線の傾きが、微分の接線であり傾き0の時は三角形はぺちゃんこで閉じている。
テンポラリ的にはそう考えられそうである。