質問
鏡の中を覗き込んだら（鏡像）、そこには自分と向き合った鏡の国の中の自分が居る。鏡の中の自分は、自分が鏡の世界に入りこんで、回れ右（right about-face）した自分とは違う。左右が逆になっているからである。そして、左右は逆になっているが、上下は逆になっていない。これ、不思議ではないだろうか。左右を入れ替えて上下を入れ替えていない。もしかして鏡は左右と上下を区別しているのだろうかと。
鏡の中の自分
まず鏡の中にそのまま入ってみる。その時、右と左はこちらの世界と同じである。そこで、左右を入れ替えてみる。そうすれば鏡の中の自分と同じになる。回れ右をすれば、鏡の中の自分と全く同じ自分がそこに居る。という事は、鏡の中の自分は左右だけを入れ替えたに違いない、と考えるのは自然である。
この考えでも整合性は取れている。なんら矛盾はない。どのような順序で座標を入れ替えても結果が同じなら区別は出来ないはずだ。そこで考えてみる。なぜ鏡の中の自分は、左右を入れ替えただけで十分なのか。なぜ上下の入れ替えはしなくても良いのか。
問題は、左右の入れ替えだけで済む理由、又は、上下の入れ替えをしなくても良い理由、である。
さて、左右の入れ替えとは線対象で入れ替える事と同じだ。だから左右で入れ替えるときには左右の間に線を引く。この線は、普通は体の真ん中に置くと思う。では、体の真ん中以外に線を引いたらどうなるだろう。それでもうまく行くのか、それとも、うまく行かないのだろうか。
いろいろな入れ替え
右腕で肘枕をして寝転んでいる。鏡の左右で違う姿に写っている。この時、鏡の中の自分も肘枕をしている（ただし左腕で）。さて左右を入れ替えても正しい姿になれるだろうか。どうやらうまくいくらしい。
次に、線を縦ではなく、横に引いてみたらどうなるだろうか？左右ではなく、上下で入れ替えてみる。
こうしてみると、どこに線を引いてもその両側を入れ替えたら鏡の中の自分になれるようである。ただし、鏡の中から自分と向き合うためには、入れ替えるだけでは足りなくて、そのあと、回転しなくてはいけない。この回転する向きは、入れ替える向きと関係しているようだ。
左右だろうが上下だろうが、斜めだろうが好きに入れ替えて良いようである。鏡の中の自分になるためには左右しかダメというわけではないらしい。任意の向きで入れ替えて、向きを変えてよいようだ。
十字架人の場合
左右だけでなく上下も全く同じヒトデとか十字架みたいな生物がいるとする。形がどれも一緒なので上下左右の区別はない。この人（？）にとって鏡に映った自分はどのように見えるだろうか。左右上下の代わりに、彼はそれぞれを A,B,C,D と呼んでいるらしい。彼にとって鏡の中の自分とは前後が入れ替わった自分と考える方が自然だ。前後で入れ替えれば簡単に鏡の中の自分になれる。わざわざ AB の方向や CD の方向を入れ替えて回転する必要はない。人間は前後を入れ替える発想がないだけで、十字架人ならば左右を入れ替えるという発想をしない。だから、単に自分たちが一番よく知る方法で入れ替えを実現しているに過ぎないと言えるだろう。人間の場合は、それが左右の入れ替えというわけだ。
鏡像を作るパターン
- 鏡の中に平行移動し、左右で入れ替えたら、上下前後の入れ替えはしなくてよい。ただし前後の向きを変えるために回転が必要である。
- 鏡の中に平行移動し、上下で入れ替えたら、左右前後の入れ替えはしなくてよい。ただし前後の向きを変えるために回転が必要である。
- 鏡の中に平行移動し、前後で入れ替えたら、上下左右の入れ替えはしなくてよい。また向きを変えるための回転も必要ない。
- 鏡の面で線対称を作成すれば、前後左右上下の入れ替えはしなくてよい。
人間は、前後、左右、上下の三次元を有する、と考える時、どのような移動、入れ替え、回転をしても最終的に同じ鏡像を作ることができる。上の４つのパターンは、次のような演算に置き換える事ができそうだ（行列でも表現できるらしい）。
| 移動 | 物体と鏡面ｇまでの距離をｎとした場合、鏡面ｇに対して２×ｎの鏡内空間の位置に平行移動する。 |
| 線対称 | 任意の平面ｐを鏡内空間に設定しその面に対して線対称で両側を交換する。左右の入れ替えは平面ｐが鏡面ｇに対して垂直（地面に対して垂直）、上下で入れ替えは平面ｐが鏡面ｐに対して垂直（地面に対して平行）、前後で入れ替えは平面ｐが鏡面ｇに対して平行。平面ｐと鏡面ｇが完全に一致する場合は移動不要。 |
| 回転 | 平面ｐと鏡面ｇが作る角度だけ平面ｐを回転する。平面ｐと鏡面ｇが平行の場合、この角度は０のため回転する必要はない（回転しても何も変わらない)。 |
線対称
まとめ
鏡の中で左右だけが変わったと考えるのは正しくない。鏡の中では前後の向きも変わっているからだ。自分の向きを変えた時に上下は変わらないが、左右の向きは変わる。車を運転していれば、右に見えていたビルが次は左側に見える事がある。この時、どれだけ車の向きを変えても上下は変わらない。ひっくり返らない限り。
そして鏡の中で前後だけを変えた時、向きが変わるから左右も影響を受ける。この時、上下は影響を受けない。だから、自分の右手は鏡の中では左手である。右の掌に右と書いておけば、鏡の中の左の掌に右と書かれている。
なぜ人は鏡の中の左右が変わったと感じるか。それは鏡の中に写る自分を生み出すのに、左右を入れ替えて作ったからである。
人間には前後を入れ替える発想がない。カエルのように胃袋を体の外に出して洗う習慣でもあればそれも可能だったかもしれない。だが人間には無理である。だから前後や上下を入れ替える発想よりも左右を入れ替える発想を先にする。これが左右が入れ替わり上下が入れ替わらない理由。